[Bielefeld-pm] Neulich beim Rollenspiel...

["Christian Dühl"]

Hallo Jürgen,

ich hab mich nochmal in Ruhe dran gesetzt und folgendes ausgearbeitet:



Die Schwester ist so alt wie der Bruder sein wird, wenn die Schwester
doppelt
so alt ist, wie der Bruder war, als das Alter der Schwester die Hälfte der
Summe ihrer beiden jetzigen Alter betrug.


Betrachtet werden drei Zeitpunkte:

    t1 der Zeitpunkt, als das Alter der Schwester die Hälfte der
       Summe ihrer beiden jetzigen Alter betrug
    t2 jetzt
    t3 der Zeitpunkt, wenn der Bruder doppelt so alt sein wird wie ...

Variablen:

    S sei das aktuelle Alter der Schwester
    B sei das aktuelle Alter des Bruders.
    delta1 sei t3-t2 (eine positive Zahl)
    delta2 sei t2-t1 (eine positive Zahl)

Wir wissen:

(1) S          = B + delta1
(2) S + delta1 = 2 * (B - delta2)
(3) S - delta2 = (B + S) / 2

(4) S          > B                   folgt aus dem ersten Teilsatz
(5) S          > (S+B)/2             denn delta2 > 0
                                           
Umformungen:

    (3)  S - delta2     = (B + S) / 2
<=>      S - delta2     = (B + S - 2*delta2) / 2
<=>      2*S - 2*delta2 = B + S
<=>      S - 2*delta2   = B
<=> (3') S              = B + 2*delta2 

Aus (1) und (3') folgt:

(6) delta1 = 2*delta2

Damit ergibt sich:

(1") S = B + delta1
(2") S + delta1 = 2 * (B - delta1/2)
(3") 2*S - delta1 = B + S

(3") und (1") sind leider gleichbedeutend. Setzt man für S in (2") B+delta1
ein, so ergibt sich:

    (2") S + delta1          = 2 * (B - delta1/2)
<=>      B + delta1 + delta1 = 2 * (B - delta1/2)
<=>      B + 2*delta1        = 2*B - delta1
<=>      3*delta1            = B
<=> (2*) B                   = 3*delta1

Setzt man (2*) in (1") ein, so ergibt sich:

    (1") S = B + delta1
<=>      S = 3*delta1 + delta1
<=> (1*) S = 4*delta1

Aus (1*) und (2*) ergibt sich:

S/4 = B/3

oder

S/B = 4/3

Die einzige Lösung aus der vorgegebenen Menge kann also S=40 und B=30 sein.


Ich hoffe, das ist 1) richtig und 2) verständlich.

Es kann auch viel kürzere Lösungen geben, aber danach hab ich nicht mehr
gesucht.

Gruß Christian